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GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

 

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

SÉRIE UNIFORME

1.     Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupança o valor de R$ 5.000,00. Sabendo que o banco paga juros de 5,5% a . m., quanto possuirá no momento do 5º depósito? Resp:- R$ 27.905,46

SOLUÇÃO

R = R$ 5.000,00      i = 5,5% a.m.     n= 5        S = ?

S = R [{(1 + i)n - 1}/i] Þ S = 5.000 [{(1 + 0.055)5 - 1}/0.055]

S = 5.000 [{(1.055)5 - 1}/0.055] = 5.000 [{1.306960 - 1}/0.055]

S = 5.000 [0.306960/0.055] = 5.000 [5,581091] = 27.905,46

S = 27.905,46

Caixa de texto: Na Planilha Excel
A1   5000
B1    0,055
C1    5
D1    =VF(B1;C1;A1)

 Pela HP 12-C, temos:

f FIN f 2

5000 CHS PMT

5.5 i

5 n

FV

 

2. O Sr.X deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que esta financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. Resp:- R$ 520,40

SOLUÇÃO

R = R$ 100,00     n = 5 meses       i = 2% a.m.       S = ?

 

S = R [{(1 + i)n - 1}/i] Þ S = 100 [{(1 + 0.02)5 - 1}/0.02]

S = 100 [{(1.02)5 - 1}/0.02] = 100 [{1.104081 - 1}/0.02]

S = 100 [0.104081/0.02] = 100 [ 5.204040] = 520.40

S = R$ 520.40

Na Planilha Excel

A1   100

B1    0,02

C1    5

D1    =VF(B1;C1;A1)

 

 
 


f  FIN    f 2

100 CHS PMT

5  n

2  i

FV

 

 

 

 

 

 

3. Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? Resp:- R$ 9.868,45

SOLUÇÃO

R = 800,00        i = 0.5% = 0.005 a.m.        n = 12 meses      S = ?

S = R [{(1 + i)n - 1}/i] Þ S = 800 [{(1 + 0.005)12 - 1}/0.005]

S = 800 [{(1.005)12 - 1}/0.005]  Þ  S = 800 [{1.061678 - 1}/0.005]

S = 800 [0.061678/0.005]  Þ  S = 800 [12.335562] = 9.868,45

 

 

f  FIN   f  2

800  CHS  PMT

12  n

0.5  i

FV

Na Planilha Excel

A1   800

B1   0,005

C1   12

D1   =VF(B1;C1;A1)

 

 
 

 

 

 

 

 


4.  Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00? Resp:- R$ 30.347,18

SOLUÇÃO

 

R = ?       i = 6% a.a.       n = 10      S = 400.000,00

S = R [{(1 + i)n - 1}/i] Þ 400.000 = R [{(1.06)10 - 1}/0.06]

400.000 = R [{1.790848 - 1}/0.06] Þ 400.000 = R [0.790848/0.06]

400.000 = R [13.180795] Þ R = 400.000/13.180795

R = 30.347,18

Caixa de texto: A1  0,06
B1  10
C1  400000
D1  =400000/POTÊNCIA(1+A1;B1) ....isto dá o VP da série
E1  =PGTO(A1;B1;D1) ... isto dará o resultado final

Na planilha Excel, para calcular o PGTO, devemos conhecer o VP. Para tanto, criamos uma célula com a função VP para pagamentos simples, e depois outra com a função PGTO. Assim,

 


5.     Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00, à taxa de 25% ao ano. Resp:- R$ 17.763,90

SOLUÇÃO

 

R = ?       n = 6 anos        S = 200.000,00    i = 25% = 0.25 a.a.

S = R [{(1 + i)n - 1}/i] Þ  200.000 = R [{(1.25)6 -1}/0.25]

200.000 =  R [{2.814697}/0.25]  Þ  R = 200.000/11.258788 = 17.763,90

Na planilha excel adotar o mesmo procedimento que o exercício 4, isto é, calcular o VP antes.

 

6. A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito? Resp:- 1,5% ao mês

 

SOLUÇÃO

 

R = 8.093,00      S = 135.000,00    n = 15      i = ?

S = R [{(1 + i)n - 1}/i] Þ 135.000 = 8.093 S15ùi

S15ùi  =   =  16.681082    

Adotando o mesmo procedimento do exercício 2 feito em classe, temos:

 

                1%                   16.096896

                i                       16.681082

                2%                   17.293417

 

     Þ   i - 1 = 0.488235

 

i = 1.488235         i = 1,50%  a.m.

 

Impossível de fazer no Excel pois não conhecemos, e nem temos como calcular o VP.

 

 

MAIS EXERCÍCIOS sobre FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL

 

7 . Qual é o depósito trimestral durante 4 anos consecutivos que produz o montante de R$ 200.000,00 após o último depósito? Considerar as taxas de juros trimestrais a seguir:

                a. 5%  a.t.              b. 10%  a.t.            c. 15%  a.t.

SOLUÇÃO

 

n = 4       S = 200.000       i = 5% a.t.       R = ?

 

S = R [ {(1 + i)n - 1}/ i ] Þ 200.000 = R [{1 + 0.05)16 - 1}/0.05] =

  = R [23,657492]
R = 200.000/23.657492 = R$ 8.453,98 \ R = R$ 8.453,98

 

Com a taxa i = 10% a.t., temos

S = R [ {(1 + i)n - 1}/ i ] Þ 200.000 = R [{1 + 0.10)16 - 1}/0.10] =

  = R [ 35.949730]

R = 200.000/35.949730 = R$ 5.563,32 \ R = R$ 5.563,32

 

Com a taxa i = 15% a.t., temos

S = R [ {(1 + i)n - 1}/ i ] Þ 200.000 = R [{1 + 0.15)16 - 1}/0.15] =

  = R [ 55.717472]

R = 200.000/55.717472 = R$ 3.589,54 \ R = R$ 3.589,54

Esses cálculos na calculadora HP 12-C ficam:

f FIN f 2

4 ENTER 4  x   n

200000  CHS  FV

5 i

PMT

 

 

 

 

 

10 i

PMT

 

 

 

 

15 i

PMT

 

 

 

 

 

 

 

 

8. O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, depósitos de R$ 200,00 em um banco que paga 2% a.m., sobre o saldo credor. Este dinheiro se destina ao custeamento dos estudos superiores do filho. Qual será o montante acumulado após ser efetuado o último depósito?

SOLUÇÃO

 

R = R$ 200,00     i = 2% a.m.       n = 36 meses      S = ?

 

S = R [ {(1 + i)n - 1}/ i ] Þ S = 200 [{1 + 0.02)36 -1}/0.02] =

  = 200 [51.994367] = R$ 10.398,87

 

9.   Uma pessoa, planejando a construção de uma casa, prevê dispêndios mensais de R$ 100.000,00 nos meses de setembro, outubro e novembro. Quanto deve ser depositado mensalmente de janeiro a agosto, do mesmo ano, para que seja possível efetuar tais retiradas? Considerar remuneração de 3% a.m. sobre os depósitos.

SOLUÇÃO

Temos o seguinte problema:          100.000  100.000  100.000

 

  JAN  FEV  MAR  ABR MAI  JUN  JUL  AGO

 


                                                                                    SET    OUT  NOV

 

       R    R   R    R    R    R    R   R

 

Portanto, o montante dos 8 depósitos deve ser igual ao valor atual das 3 retiradas, à taxa de 3% a.m.

S = R1 [ {(1 + i)n - 1}/ i ]
P = R2 []         

 Como   S = P Þ R1 [ {(1 + i)n - 1}/ i ] = R2 []  ou

R1 [8.892336] = R2 [2,8286611   Þ  R1 = (100.000 [2,8286611])/8,892336 R1 = R$ 31.809,54

f FIN f 2

100.000 CHS PMT

3 i

3 n

PV

 f FIN

CHS  FV

8  n

3 i

PMT

 

Limpa os registros financeiros e coloca duas casas decimais

Coloca as prestações iguais a R$ 100.000,00

Taxa de juros igual a 3%

Número de períodos igual a 3

Valor atual dos desembolsos

Limpa novamente os registros financeiros

Coloca o valor futuro da série

Coloca o número de períodos de aplicações

Coloca a taxa de 3% novamente (foi apagada)

Calcula as prestações

 

 

10. A Imobiliária Cabanas S/A vende um pequeno apartamento usado por R$ 150.000,00 a vista. Como alternativasa seus clientes, oferece dois planos de financiamento:

                Plano A : entrada de R$ 50.000,00 mais 4 prestações trimestrais de R$ 31.600,00

                Plano B : entrada de R$ 30.000,00 mais 8 prestações trimestrais de R$ 23.000,00

     O Sr. Malba Tahan da Silva, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja saber qual é a melhor opção de compra.

 

SOLUÇÃO

 

Vamos calcular o valor atual de cada plano, lembrando que no pagamento à vista o valor atual é o próprio valor.

Plano A: PV = Entrada1 +  R1 []=

            = 50.000 + 31.600 [] = 50.000 + 31.600 [3.169865]=

            = R$ 150.167,75

 

Plano B: PV = Entrada2 + R2 [] =

           

= 30.000 + 23.000 [] = 30.000 + 23.000 [5.334926]=

= R$ 152.703,30

Como nos dois planos de financiamento o valor atual é superior ao preço a vista (R$ 150.000,00), então a melhor opção de compra é a vista.


FATOR DE VALOR ATUAL

Série Uniforme

 

1.     Qual é o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 3.500,00, feito à base de 2% a.m. em 10 prestações? Resp:- R$ 389,64

Solução

 

      P = 3.500,00      i = 2%      n = 10

     

      P = R . a10ù2 Þ R = 3.500 .   = (3.500 . 0,11132653) = 389,64

      O valor da prestação mensal é de R$ 389,64

 

2. Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito à base de 6% a.m., que dívida estarei amortizando? Resp: R$ 3.440,97

Solução

 

R$ 300,00   i = 6%      n = 20

 

P = R . a20ù6 = 300 . 11,469921 = R$ 3.440,97

3.  Em quantas prestações mensais de R$ 796,80 quitarei uma dívida de R$ 10.000,00, se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.? Resp: 18 prestações

Solução

 

  P = 10.000,00  R = 796,80        i = 4%

 

  P = R . anù4     10.000 = 796,80 . anù4 Þ anù4 = 12,550201

  Procurando i = 4 nas Tabelas de anùi, encontraremos em n =18 o fator 12,659270, que aceitaremos como o mais próximo. Portanto, deverá ser 18 o número de prestações mensais iguais.

 

4. Um financiamento de R$ 11.000,00 tem duas opções parra ser feito: em 12 prestações de R$ 1.384,92 ou em 18 prestações de R$ 1.015,92. Qual é a opção mais vantajosa para a financiadora?Resp:- Para a financiadora é a primeira opção, pois a taxa é maior

Solução

  Na primeira opção, temos P = 11.000,00,            R = 1.384,92      n = 12

 

  P = R . a12ùi          11.000 = 1.384,92 . a12ùi

  a12ùi = (11.000/1.384,92) = 7,942697

 

  Procurando n = 12 nas Tabelas de anùi, encontraremos para i = 7 o valor 7,942686, que consideraremos o mais aproximado. Assim, a taxa no primeiro caso é de, aproximadamente, 7% a.m.

 

  Na segunda opção, temos  P = 11.000,00       R = 1.015,92      n = 18

  P = R . a18ùi          11.000 = 1.015,92 . a18ùi

    a18ùi  = (11.000/1.015,92) = 10,827624

  Procurando n = 18 nas Tabelas de anùi, encontraremos para i = 6%, o fator 10,827603, que consideraremos o mais aproximado. Assim, a taxa no segundo caso foi de 6% a.m., aproximadamente.

  Para a financiadora é mais vantajosa a primeira opção, pois a taxa é maior.

 

5.   Calcular o valor atual de uma dívida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa no período de 2%. Resp: R$ 5.860,38

Solução

                R = 800,00             i = 2%                    n = 8

                P = R . a8ù2 = 800 . 7,3254814 = 5.860,38 \ P = R$ 5.860,38

 

6.   Um comprador oferece ao vendedor de uma loja 6 prestações de R$ 429,00 por uma televisão, cujo preço à vista é de R$ 2.000,00. Só que ele deseja começar a pagar daqui a 3 meses. Se os juros mensais normais da loja forem de 3%, será ou não interessante para o vendedor aceitar a proposta? Resp: É vantajoso pois o comprador está pagando um  juro de R$ 126,70 a mais do que se financiasse pela loja.

Solução

      P = 2.000,00      R = 429,00       

      P = R [a9ùi - a3ùi] = 3.340,20 - 1213,50 = 2.126,70

  O comprador está pagando R$ 126,70 a mais do que se o financiamento fosse feito pela loja.

7.  Uma loja de móveis cobra normalmente 15% do valor da compra no ato do contrato, e o saldo pode ser pago em 6 prestações mensais a contar da entrega do pedido, cujo prazo é estipulado em 2 meses. Qual é o preço à vista de uma compra de móveis, cujas prestações são de R$ 1.846,30, sendo a taxa de juros mensais da operação estipulada em 5%? Resp: R$ 10.000,00

Solução

 

  R = R$ 1.846,30      i = 5% a.m.       carência = 2 meses

número de parcelas = 6

 

Valor Financiado (V.F.) = P - 0.15 P = 0.85 P

0.85 P = R [a8ù5 - a­2ù5 ] = 1.846,30 [ 6,4632128 - 1,8594104]

0.86 P = 1.846,30 [4,6038024] = 8.500,00  \ P = R$ 10.000,00 

 

8.     Um financiamento de R$ 20.000,00 deve ser pago em 8 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros cobrada pela financeira for de 8% a.m., calcular o valor de uma “comissão de abertura de crédito”, cobrada ao cliente, que permita à empresa financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação. Resp: R$ 1.433,38.

Solução

 

  Calculando o valor das prestações mensais:

 

  P = 20.000,00        n = 8       i = 8%      comissão = ?

 

  P = R . a8ù8           20.000 = R . 5,74664         R = R$ 3.480,29

 

  O valor atual das 8 prestações de R$ 3.480,29, à taxa de juros de 10%a.m.:

  P = R . a8ù10 = 3.480,29 . 5,33493 = 18.566,62

 

  Valor da Comissão:

 

  Comissão = 20.000 - 18.566,62 = R$ 1.433,38

9.   Uma instituição financeira financia veículos de transporte em 18 prestações mensais de R$ 100.000,00 cada uma. Se o valor do financiamento for de R$ 875.563,00  , qual será a taxa de juros mensal cobrada? Resp: i = 9% a.m.

Solução

                n =18                      R = 100.000,00                      P = 875.563,00                      i = ?

                P = R . a18ùi            a18ùi = (875.563/100.000) = 8,75563

  Procurando nas Tabelas Financeiras o fator a18ùi = 8,75563 vemos que corresponde a uma taxa de juros de 9% a.m.. Se o fator não estiver tabelado, podemos usar o método da interpolação linear.

10.Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alternativas para pagamento:

  1. pagamento à vista de R$ 2.300,00;
  2. pagamento de 8 prestações mensais de R$ 431,11;
  3. Pagamento de 4 prestações mensais de R$ 965,75 sendo a primeira     paga daqui a 4 meses;
  4. Um único pagamento de R$ 4.930,26 daqui a 8 meses.

     Do ponto de vista financeiro, qual plano é o melhor considerando que a taxa de juros praticada é de 10% a.m.? Resp: Todas alternativas são equivalentes.

Solução

  Os valores atuais dos 4 planos de financiamento são os seguintes:

1. P = R$ 2.300

2. P = 431,12 . a8ù10 = 431,12 . 5,33493 = 2.300,00

3. P = [ 965,75 . a4ù10 ] (1,10)-3 = 965,75 . 3,16987 . 0,75131   = R$2.300

4. 4.930,26 . (1,10)-8 = 4.930,26 . 0,46651 = R$ 2.300,00

Observando os resultados, vemos que as quatro alternativas são equivalentes, considerada a taxa de 10% a.m.

 

FATOR DE FORMAÇÃO DO CAPITAL

SÉRIE UNIFORME

1.   Uma financeira publica que seus coeficientes para financiamento de carros, em 24 meses, são:

            Carros 0 - km                                                 Carros Novos

            0,06480                                                          0,06815

     Qual é a taxa de juros de cada coeficiente?Resp : Carros-Novos 3,88% a.m. e Carros-Usados 4,38% a.m.

Solução

 

O coeficiente é o número que multiplicado pelo valor à vista P do carro dá o valor das prestações, isto é,

0,06480 x P = R   Þ P = R / 0,06840 Þ P = R . 15,43.

Mas, P = R a24ùi. Logo,

  a24ùi = 15,43

Fazendo interpolação linear, teremos:

 

  i = 3% ...............16,9130

  i.....................15,43         

  i = 4% ...............15,2469

 

 

i - 3 = 0,88 ou i = 3,88% a.m.

Obs: - Para os carros usados adotamos o mesmo raciocínio.

 

2.     João, conversando com um amigo, conta-lhe que fez o “melhor negócio do mundo, pois comprou uma motocicleta, cujo valor à vista era de $ 30.000,00, em prestações mensais de $ 1.326,06, sem dar entrada alguma. João achou que o negócio fora bom porque, apesar de o vendedor dizer-lhe que a taxa de juros era de 4% a.m. , o valor da prestação era baixo. Seu amigo perguntou-lhe em quantas prestações comprara e ele respondeu que não sabia. Calcule o número de prestações. Resp: 60 meses

 

Solução

 

P = 30.000,00     R = 1.326,06      i = 4% a.m.       n =?

 

      P = R anù4        30.000 = 1.326,06 . anù4

     

      anù4 = 22,6234 Þ  = 22,6234  Þ  1 - (1.04)-n = 0,9049

 

      -n ln 1.04 = ln 0.0951 Þ -n = (-2.3528263/0.0392207) = 59.99

 

                  n = 60 meses

 

 

3.     Um executivo, prevendo sua aposentadoria, resolve efetuar, durante 4 anos, depósitos mensais iguais à taxa de 2,5% a.m.. Este pecúlio deverá permitir 5 retiradas anuais de R$ 500.000,00, ocorrendo a primeira 2 anos após o último depósito. De quanto devem ser os depósitos mensais? Resp: R$ 9.167,56

 

Solução

 

                                                                                                500.000,00

 

 


0   1  2   3  4   5        47  48

 

 


                                                                                                                1    2  3   4   5  6 

 

      R   R   R  R   R         R   R

 

 

 

O valor futuro da série de depósitos de ve ser igual ao valor presente da série de retiradas, com carência de 2 anos. Assim,

 

      S = R s48ù2,5 = P6 - P1 = 500.000,00 (a6ùi - a1ùi).

     

Como a série de retirada é anual, temos:

 

      (1 + ia.a.) = (1 + i)12 Þ 1 + ia.a. = 1,344889 \ ia.a. = 34,4889% a.a.

 

 

R . s48ù2,5 = 1.204.738,457 - 371.777,8939 = 832.960,56

 

R . [((1.025)48 - 1)/.025] = 832.960,56

 

R = 9.167,56

 

 

FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL

SÉRIE UNIFORME

 

1. Um jornal local publicou o seguinte anúncio de uma revendedora de veículos:

“Gol 95. Novinho. Entr. R$ 4.500,00 e 12 parcelas mensais de R$ 600,00; à vista R$ 9.600,00; temos outros planos; aceitamos outro veículo em troca. Tel xxx-xxxx”

   Qual a taxa de juros que o vendedor cobra no caso de financiar o carro? Resp:- 5,75% ao mês